Đi đến nội dung chính

Ma Trận Sơ Cấp: Trực Quan Hóa Và Một Số Ứng Dụng

Phạm Công Vinh, Phạm Xuân Trung

Mục 1.1 Số Thực Và Các Tính Chất

Tiểu Mục 1.1.1 Tập Số Thực

Tập số tự nhiên (hay tập số nguyên không âm), kí hiệu \(\N\)
\begin{equation*} \N = \{0, \, 1, \, 2, \, 3, \, \ldots, \, n, \, \ldots \} \end{equation*}
Tập số tự nhiên dương, kí hiệu \(\pN\text{.}\)
\begin{align*} \pN \amp = \{1, \, 2, \, 3, \, \ldots, \, n, \, \ldots \}\\ \amp =\N \setminus \{0\} \end{align*}
Tập số nguyên, kí hiệu \(\Z\)
\begin{equation*} \Z = \{\ldots, \, -3, \, -2, \, -1, \, 0, \, 1, \, 2, \, 3, \, \ldots \} \end{equation*}
Tập số hữu tỷ, kí hiệu \(\Q\text{.}\)
\begin{equation*} \Q = \{r: r = \frac{m}{n}, \, m \in \Z, \, n \in \pN\} \end{equation*}
Số hữu tỷ (biểu diễn dưới dạng thập phân) có dạng hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.
Ví dụ:
\begin{gather*} \frac{1}{5} = 0.2\\ \frac{1}{3} = 0.333\ldots = 0.(3) \end{gather*}
Tập số vô tỷ, kí hiệu \(\nQ\text{,}\) là tập các số thập phân vô hạn không tuần hoàn.
\begin{equation*} \nQ = \R \setminus \Q \end{equation*}
Ví dụ:
\begin{gather*} \sqrt{2} = 1.41421356\ldots\\ \pi = 3.14159265\ldots \end{gather*}
Tập số thực, kí hiệu \(\R\text{,}\) là tập bao gồm các số hữu tỷ và các số vô tỷ.
\begin{equation*} \R = \Q \cup \nQ \end{equation*}

Nhận Xét 1.1.1. Mối quan hệ giữa 4 tập số cơ bản.

\begin{equation*} \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \ \end{equation*}
Hình biểu diễn bốn tập số cơ bản N, Z, Q, R
Hình 1.1.2. Bốn tập số cơ bản \(\mathbb{N}, \, \mathbb{Z}, \, \mathbb{Q}, \, \mathbb{R}\)

Tiểu Mục 1.1.2 Các Phép Toán Trên Tập Số Thực \(\R\)

\begin{equation*} \boxed{\forall \, x, \, y \in \R} \end{equation*}
Phép cộng
Cộng 2 số thực \(x, \, y\) ta được 1 số thực \(\delta\text{,}\) gọi là tổng của \(x\) và \(y\text{.}\)
Ký hiệu:
\begin{equation*} \delta = x + y \end{equation*}
Phép nhân
Nhân 2 số thực \(x, \, y\) ta được 1 số thực \(\rho\text{,}\) gọi là tích của \(x\) và \(y\text{.}\)
Ký hiệu:
\begin{equation*} \rho = x \cdot y = x \times y = xy \end{equation*}

Tiểu Mục 1.1.3 Tính Chất Của Các Phép Toán

\begin{equation*} \boxed{\forall \, x, \, y, \, z \in \R} \end{equation*}
  1. Phép cộng có các tính chất:
    1. Giao hoán:
      \begin{equation*} x + y = y + x \end{equation*}
    2. Kết hợp:
      \begin{equation*} (x + y) + z = x + (y + z) \end{equation*}
    3. Số \(0\text{:}\)
      \begin{equation*} x + 0 = 0 + x = x \end{equation*}
    4. Số đối:
      \begin{equation*} x + (-x) = -x + x = 0 \end{equation*}
  2. Phép nhân có các tính chất:
    1. Giao hoán:
      \begin{equation*} x \cdot y = y \cdot x \end{equation*}
    2. Kết hợp:
      \begin{equation*} (x \cdot y)z = x(y \cdot z) \end{equation*}
    3. Số \(1\text{:}\)
      \begin{equation*} x \cdot 1 = 1 \cdot x = x \end{equation*}
  3. Tính phân phối của 2 phép toán:
    \begin{equation*} x(y + z) = xy + xz \end{equation*}

Quan Sát 1.1.3. Tính giao hoán và phân phối.

Do tính giao hoán 1.a và 2.a, ta có:
\begin{align*} (x + y)z = z(x + y) \amp = zx + zy\\ \amp = xz + yz \end{align*}

Ví Dụ 1.1.4. Tính phân phối và giao hoán.

\begin{align*} 2(3 + 4) \amp = 2 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 6 + 8 = 14 \\ = (4 + 3)2 \amp = 4 \cdot 2 + 3 \cdot 2 = 8 + 6 = 14 \end{align*}

Tiểu Mục 1.1.4 Tính Đóng Của Một Phép Toán

Với mọi \(x, \, y \in \R\text{,}\) khi:
  • Tổng \(x + y = \delta \in \R\text{,}\) ta nói phép cộng các số thực có tính đóng.
  • Tích \(x \cdot y = \rho \in \R\text{,}\) ta nói phép nhân các số thực có tính đóng.

Chú Ý 1.1.5. Sự phụ thuộc của tính đóng với tập số.

Với phép cộng và phép nhân, tính đóng phụ thuộc vào tập chứa các phần tử mà ta thực hiện phép toán.

Ví Dụ 1.1.6. Tính đóng đối với tập số nguyên âm \(\mZ\).

Trên tập số nguyên âm \(\mZ = \{\ldots, \, -n, \, \ldots, \, -3, \, -2, \, -1\}\)
  • Phép cộng có tính đóng.
    \begin{equation*} (-3) + (-2) = -5 \in \mZ \end{equation*}
  • Phép nhân không có tính đóng.
    \begin{equation*} (-3) \cdot (-2) = 6 \notin \mZ \end{equation*}

Nhận Xét 1.1.7. Sự quan trọng của tính đóng.

Tính đóng đối với phép toán có mối quan hệ mật thiết với một đặc tính khái niệm của không gian vector [provisional cross-reference: section-dac-tinh-khong-gian-vector].

Exercises Bài Tập Về Tính Đóng Của Các Tập Số Cơ Bản

Tập Số Tự Nhiên.
Đánh giá tính đóng của các phép toán đối với tập số tự nhiên \(\N\text{.}\)
1.
Phép cộng số tự nhiên có tính đóng không?
Gợi Ý.
Nháp một vài phép cộng hai số tự nhiên bất kỳ và xem xét tổng có thuộc tập số tự nhiên không.
Đáp Án.
Phép cộng số tự nhiên có tính đóng.
Lời Giải.
\begin{equation*} \boxed{\forall \, x, \, y \in \N, \, x + y = \delta \Rightarrow \delta \in \N} \end{equation*}
Ví dụ:
\begin{equation*} 2 + 5 = 7 \in \N \end{equation*}
2.
Phép trừ số tự nhiên có tính đóng không?
Gợi Ý.
Nháp một vài phép trừ hai số tự nhiên bất kỳ và xem xét hiệu có thuộc tập số tự nhiên không.
Đáp Án.
Phép trừ số tự nhiên không có tính đóng.
Lời Giải.
\begin{equation*} \boxed{\exists \, x, \, y \in \N, \, x - y = \delta \Rightarrow \delta \notin \N} \end{equation*}
Ví dụ:
\begin{align*} 5 - 2 \amp = 3 \in \N\\ \text{Nhưng } 2 - 5 \amp = -3 \notin \N \end{align*}
3.
Tương tự, phép nhân số tự nhiên có tính đóng không? Phép chia số tự nhiên có tính đóng không?
Đáp Án.
Phép nhân số tự nhiên có tính đóng. Còn phép chia số tự nhiên không có tính đóng.
Lời Giải.
\begin{equation*} \boxed{ \begin{aligned} \forall \, x, \, y \in \N, \, x \cdot y = \rho \Rightarrow \rho \in \N \\[0.5ex] \exists \, x, \, y \in \N, \, \frac{x}{y} = \rho \Rightarrow \rho \notin \N \end{aligned} } \end{equation*}
Ví dụ:
\begin{align*} 2 \cdot 5 \amp = 10 \in \N\\ \\ 10 / 5 \amp = 2 \in \N\\ \text{Nhưng } 5 / 10 \amp = 0.5 \notin \N \end{align*}
Các tập số cơ bản còn lại.
Đánh giá tính đóng của các phép toán đối với các tập số nguyên \(\Z\text{,}\) hữu tỷ \(\Q\text{,}\) thực \(\R\text{.}\)
4.
    Các phép toán có tính đóng đối với tập số nguyên \(\Z\) là?
  • Phép cộng
  • Phép cộng số nguyên có tính đóng.
  • Phép trừ
  • Phép trừ số nguyên có tính đóng.
  • Phép nhân
  • Phép nhân số nguyên có tính đóng.
  • Phép chia
  • Phép chia số nguyên không có tính đóng.
5.
    Cả 4 phép toán trên đều có tính đóng với tập số hữu tỷ \(\Q\text{?}\)

  • True.

  • Tập số hữu tỷ \(\Q\) là tập số nguyên \(\Z\) hợp với tập các phân số của các số nguyên đó. Vì vậy, phép chia số hữu tỷ cũng có tính đóng. Vậy, cả bốn phép toán trên đều có tính đóng với tập số hữu tỷ \(\Q\text{.}\)

  • False.

  • Tập số hữu tỷ \(\Q\) là tập số nguyên \(\Z\) hợp với tập các phân số của các số nguyên đó. Vì vậy, phép chia số hữu tỷ cũng có tính đóng. Vậy, cả bốn phép toán trên đều có tính đóng với tập số hữu tỷ \(\Q\text{.}\)
6.
Các phép toán nào có tính đóng đối với tập số thực \(\R\text{?}\)
Đáp Án.
Cả bốn phép toán cộng, trừ, nhân, chia trên tập số thực \(\R\) đều có tính đóng.
Kết luận: Ảnh về tính đóng của các phép toán đối với các tập số cơ bản.
TrcTopTiếp