Đi đến nội dung chính

Ma Trận Sơ Cấp: Trực Quan Hóa Và Một Số Ứng Dụng

Phạm Công Vinh, Phạm Xuân Trung

Mục 1.2 Vector—Sự Mở Rộng Số Thực Theo Một Chiều. Chuyển Vị Vector

Tiểu Mục 1.2.1 Vector cột

Định Nghĩa 1.2.1.

Vector cột là bộ các số thực được sắp xếp theo chiều dọc.
Để biểu diễn vector cột, ta thường sắp xếp bộ các số đó trong ngoặc vuông.
Ví dụ:
  • Sắp xếp bộ 2 số thực \(x, y\) thành 1 cột ta được vector cột \(\sbmat{x \\ y}\text{.}\)
  • Sắp xếp bộ 3 số thực \(x, y, z\) thành 1 cột ta được vector cột \(\sbmat{x \\ y \\ z}\)

Quy Ước 1.2.2.

Sắp xếp bộ n số thực \(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\) thành 1 cột ta được vector cột \(\sbmat{x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n}}\)

Quy Ước 1.2.3.

Vector cột có n hàng (và 1 cột) được kí hiệu \(\sbmat{x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n}}_{n \times 1}\)

Quy Ước 1.2.4.

Trong tài liệu này, khi nói đến vector ta sẽ sử dụng ký hiệu vector cột.
Ví dụ: Vector \(\sbmat{-2 \\ 0 \\ 4.5}\) có các phần tử
  • phần tử thứ nhất là \(-2\)
  • phần tử thứ hai là \(0\)
  • phần tử thứ ba là \(4.5\)

Chú Ý 1.2.5.

Số phần tử, hay kích thước, của một vector và thứ tự của chúng rất quan trọng.
\begin{equation*} \bmat{1 \\ 2} \quad \text{khác} \quad \bmat{1 \\ 2 \\ 0} \quad \text{khác} \quad \bmat{0 \\ 1 \\ 2} \end{equation*}

Chú Ý 1.2.6.

Kí hiệu trên khác việc sử dụng ngoặc tròn \(\spmat{x \\ y}\) hoặc ngoặc nhọn \(\samat{x \\ y}\text{.}\)

Ví Dụ 1.2.7. Biểu diễn vector 2×1 trong không gian 2 chiều với JSXGraph.

Instructions.
Thay đổi giá trị của 2 số thực \(x, y\) và quan sát sự biểu diễn của vector \(\sbmat{x \\ y}\) trên không gian 2 chiều.
Có 2 chế độ hiển thị (Mũi tên / Điểm). Cả 2 đều là sự trực quan hóa 1 vector 2×1 trong không gian 2D.

Ví Dụ 1.2.8. Biểu diễn vector 3×1 trong không gian 3 chiều với GeoGebra.

Instructions.
Thay đổi giá trị của 3 số thực \(u_{1}, u_{2}, u_{3}\) và quan sát sự biểu diễn của vector \(\sbmat{u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3}}\) trên không gian 3 chiều.
Giữ và di chuột trái để di chuyển góc nhìn. Dùng con lăn chuột để phóng to / nhỏ.
Có 2 chế độ hiển thị (Mũi tên / Điểm). Cả 2 đều là sự trực quan hóa 1 vector 3×1 trong không gian 3D.

Tiểu Mục 1.2.2 Vector hàng

Định Nghĩa 1.2.9.

Thay vì sắp xếp bộ các số thực thành 1 cột, ta sắp xếp chúng thành 1 hàng thì sẽ thu được vector hàng.

Quy Ước 1.2.10.

Sắp xếp bộ n số thực \(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\) thành 1 hàng ta được vector hàng \(\shvec{x_{1} \amp x_{2} \amp \cdots \amp x_{n}}\)

Quy Ước 1.2.11.

Vector hàng có n cột (và 1 hàng) được kí hiệu \(\shvec{x_{1} \amp x_{2} \amp \cdots \amp x_{n}}_{1 \times n}\)

Nhận Xét 1.2.12.

Tương tự như đối với vector cột, ta có thể thực hiện phép cộng các vector hàng (có cùng số thành phần) và phép nhân vector hàng với 1 số.

Tiểu Mục 1.2.3 Phép Chuyển Vị

Định Nghĩa 1.2.13.

Phép chuyển vị 1 vector là sự biến đổi vị trí bộ các số thuộc vector đó từ cột thành hàng hoặc từ hàng thành cột nhưng giữ nguyên thứ tự các số.
\begin{equation*} \bmat{\text{trên} \\ \downarrow \\ \text{dưới}} \quad \text{hay} \quad \hvec{\text{trái} \amp \rightarrow \amp \text{phải}} \end{equation*}
Phép chuyển vị được kí hiệu bằng chữ \(T\text{.}\)
\begin{align*} \bmat{x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n}}^{T} = \hvec{x_{1} \amp x_{2} \amp \cdots \amp x_{n}}\\ \\ \hvec{x_{1} \amp x_{2} \amp \cdots \amp x_{n}}^{T} = \bmat{x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n}} \end{align*}

Quan Sát 1.2.14.

\((A^{T})^{T} = A\)

Tiểu Mục 1.2.4 Vector Trong Lập Trình

Tiểu Tiểu Mục 1.2.4.1 Nhập, Xuất Vector

Output 1.2.15. 
[[1]
 [2]
 [3]]

[[4 5 6]]
Output 1.2.16.
\begin{equation*} \bmat{\frac{10}{3} \\ 0 \\ \frac{3}{2}} \end{equation*}

Tiểu Tiểu Mục 1.2.4.2 Tính Chuyển Vị Của Vector

Để tính chuyển vị của một vector, ta sử dụng hàm transpose().
Output 1.2.17. 
[[1 2 3]]

[[4]
 [5]
 [6]]
Output 1.2.18.
\begin{equation*} \bmat{\frac{10}{3} & 0 & \frac{3}{2}} \end{equation*}

Tiểu Mục 1.2.5 Vấn Đề Tiếp Theo (Cũ)

  1. Như vậy, ta có thể coi vector cột là sự “mở rộng” của các số thực theo chiều dọc. Tương tự, vector hàng được coi là sự “mở rộng” của các số thực theo chiều ngang.
  2. Tiếp theo, khi mở rộng các vector cột theo chiều ngang (hoặc các vector hàng theo chiều dọc) ta sẽ có được đối tượng mới, gọi là ma trận.
  3. Ngoài phép nhân vector với 1 số, ta có thể thực hiện phép nhân giữa các vector như thế nào?
TrcTopTiếp